Continuity and Bisimulations

The notion of a bisimulation relation is of basic importance in many areas of computation theory and logic. Of late, it has come to take a particular signiicance in work on the formal analysis and veriication of hybrid control systems, where system properties are ex-pressible by formulas of the modal-calculus or weaker temporal logics. Our purpose here is to give an analysis of the concept of bisimulation, starting with the observation that the zigzag conditions are suggestive of some form of continuity. We give a topological characterization of bisimularity for preorders, and then use the topology as a route to examining the algebraic semantics for the-calculus, developed in recent work of Kwiatkowska et al, and its relation to the standard set-theoretic semantics. In our setting,-calculus sentences evaluate as clopen sets of an Alexandroo topology, rather than as clopens of a (compact, Haus-dorr) Stone topology, as arises in the Stone space representation of Boolean algebras (with operators). The paper concludes by applying the topological characterization to obtain the decidability of-calculus properties for a class of rst-order deenable hybrid dynamical systems, slightly extending and considerably simplifying the proof of a recent result of Laaerriere et al. R esum e. La notion d'une relation de bisimulation est d'importance fondamental dans beaucoup de secteurs de th eorie de calcul, et de logique. R ecemment, elle est venue pour prendre une signiication par-ticuli ere dans le travail sur l'analyse et la v eriication formelles des syst emes de contr^ ole hybrides, o u les propri et es de syst eme sont ex-primables par des formules du-calcul modal ou des logiques tem-porelles plus faibles. Notre but est de donner une analyse du concept du bisimulation, commenn cant par l'observation que les conditions de zigzag sont suggestifs d'une certaine forme de continuit e. Nous donnons une caract erisation topologique de bisimularity pour des preorders, et puis employons la topologie pour examiner la s emantique alg ebrique du-calcul, d evelopp ee dans les travaux r ecents de Kwiatkowska et autres, et sa relation la s emantique de la theorie des ensembles standard. Dans notre arrangement, les phrases du-calcul evaluent comme des ensembles clopen d'une topologie d'Alexandro, plutt que des clopens d'une topologie de Stone (contrat, Hausdorr), comme surgit dans la repr esentation dans un espace de Stone des alg ebres bool eennes avec des op erateurs. Le papier conclut en appliquant la caract erisation topologique pour obtenir la …